全微分方程是什么（常微分方程，偏微分方程，全微分方程各是什么，有什么区别）
本文目录
- 常微分方程，偏微分方程，全微分方程各是什么，有什么区别
- 怎么判断一个方程是否是全微分方程
- 什么是全微分方程
- 关于全微分方程
- 在高数解微分方程的时候，全微分方程的求解公式是怎么来的望达人告知一下推导过程！感激不尽！
常微分方程，偏微分方程，全微分方程各是什么，有什么区别
常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程。偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程。全微分方程：一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后，它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程。
怎么判断一个方程是否是全微分方程
若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P’(y)=Q’(x),在G内恒成立.例：判断方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程，并求其通解（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,δP/δy=12xy=δQ/δx,所以这是全微分方程，u(x,y)=∫4y^3dy=x^3+3x^2y^2+y^4,方程通解:x^3+3x^2y^2+y^4=C.
什么是全微分方程
全微分方程的概念如图所示
若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).方程中的未知数含有微分的情况，只要有dx对于未知数x这就是个全微分方程
关于全微分方程
不可能对，您的理解有问题，没明白全微分方程的实质。全微分方程实际上是方程可以写成d(f(x,y))=0的形式，然后对两边同时取积分，解得f(x,y)=C为原方程的解，例如2xdx=-3y^2方程可以化为d(x^2)+d(y^3)=0等价于d(x^2+y^3)=0直接积分得x^2+y^3=c，因此原方程也可以直接积分。你自己设出来y=-4这样一个初始条件解出来的夜是原方程的解，但是很遗憾解出来的是某一个奇解或者奇解上的某一个点，如果方程要求你解通解的话那肯定不对。从这个题目来看是考察积分因子的，如果是高数里的题目那直接分离变量积分然后化成那种形式即可，如果是数学院或者工学院的常微分方程课程的内容的话，你翻开全微分方程和积分因子这一节，先套公式求出来积分因子把方程化为全微分方程再解。
在高数解微分方程的时候，全微分方程的求解公式是怎么来的望达人告知一下推导过程！感激不尽！
您是不是指得这个公式：方程udx+vdy=0如果满足du/dy=dv/dx则为全微分方程（简便起见偏导我也用导数表示了），其通解为∫udx+∫vdy=0。这个没什么好推导的，直接带进去就行了。对原方程两端同时乘以du/dy，注意到du/dy=dv/dx，原式可化为udv+vdu=0，注意到d(uv)=udv+vdu，所以原式可化为d(uv)=0，直接积分就可得uv=C为原方程的通解，其中C为待定常数，等价于∫udx+∫vdy=0。全微分方程之所以被叫做全微分方程，就是因为方程可以化为d(f(x,y))=0的形式，也就是说可以化为二元函数f(x,y)的全微分等于0的形式，方程通解就是f(x,y)=C。一般情况下解全微分方程没有用公式的，只要你把方程化为d(f(x,y))=0的形式，那么通解就是f(x,y)=C。
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