全微分方程是什么(常微分方程,偏微分方程,全微分方程各是什么,有什么区别)
本文目录
- 常微分方程,偏微分方程,全微分方程各是什么,有什么区别
- 怎么判断一个方程是否是全微分方程
- 什么是全微分方程
- 关于全微分方程
- 在高数解微分方程的时候,全微分方程的求解公式是怎么来的望达人告知一下推导过程!感激不尽!
常微分方程,偏微分方程,全微分方程各是什么,有什么区别
常微分方程:解得的未知函数是一元函数的微分方程。偏微分方程:解得的未知函数是多元函数的微分方程。全微分方程:一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后,它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程。
怎么判断一个方程是否是全微分方程
若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P’(y)=Q’(x),在G内恒成立.例:判断方程(3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程,并求其通解(3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,δP/δy=12xy=δQ/δx,所以这是全微分方程,u(x,y)=∫4y^3dy=x^3+3x^2y^2+y^4,方程通解:x^3+3x^2y^2+y^4=C.
什么是全微分方程
全微分方程的概念如图所示
若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).方程中的未知数含有微分的情况,只要有dx对于未知数x这就是个全微分方程
关于全微分方程
不可能对,您的理解有问题,没明白全微分方程的实质。全微分方程实际上是方程可以写成d(f(x,y))=0的形式,然后对两边同时取积分,解得f(x,y)=C为原方程的解,例如2xdx=-3y^2方程可以化为d(x^2)+d(y^3)=0等价于d(x^2+y^3)=0直接积分得x^2+y^3=c,因此原方程也可以直接积分。你自己设出来y=-4这样一个初始条件解出来的夜是原方程的解,但是很遗憾解出来的是某一个奇解或者奇解上的某一个点,如果方程要求你解通解的话那肯定不对。从这个题目来看是考察积分因子的,如果是高数里的题目那直接分离变量积分然后化成那种形式即可,如果是数学院或者工学院的常微分方程课程的内容的话,你翻开全微分方程和积分因子这一节,先套公式求出来积分因子把方程化为全微分方程再解。
在高数解微分方程的时候,全微分方程的求解公式是怎么来的望达人告知一下推导过程!感激不尽!
您是不是指得这个公式:方程udx+vdy=0如果满足du/dy=dv/dx则为全微分方程(简便起见偏导我也用导数表示了),其通解为∫udx+∫vdy=0。这个没什么好推导的,直接带进去就行了。对原方程两端同时乘以du/dy,注意到du/dy=dv/dx,原式可化为udv+vdu=0,注意到d(uv)=udv+vdu,所以原式可化为d(uv)=0,直接积分就可得uv=C为原方程的通解,其中C为待定常数,等价于∫udx+∫vdy=0。全微分方程之所以被叫做全微分方程,就是因为方程可以化为d(f(x,y))=0的形式,也就是说可以化为二元函数f(x,y)的全微分等于0的形式,方程通解就是f(x,y)=C。一般情况下解全微分方程没有用公式的,只要你把方程化为d(f(x,y))=0的形式,那么通解就是f(x,y)=C。
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