全微分方程的通解(什么是微分方程的通解和特解)
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什么是微分方程的通解和特解
通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数。比如y=4x^2就是xy’=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy’=8x^2的通解,其中C为任意常数。
求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。
微分方程研究的来源
它的研究来源极广,历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时,指出了它们的互逆性,事实上这是解决了最简单的微分方程y’=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时,微分方程就大量地涌现出来。
牛顿本人已经解决了二体问题:在太阳引力作用下,一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点,得到3个未知函数的3个二阶方程组,经简单计算证明,可化为平面问题,即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法,完全解决了它的求解问题。
微分方程的通解方法
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),(含一个或多个待定常数,由初始条件确定)。
例如:dy/dx=sin x,其解为: y=-cos x+C,其中C是待定常数;
如果知道y=f(π)=2,则可推出C=1,而可知 y=-\cos x+1。
一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数变易法:
对于方程:y’+p(x)y+q(x)=0,可知其通解:
然后将这个通解代回到原式中,即可求出C(x)的值。
扩展资料:
以下是常微分方程的一些例子,其中u为未知的函数,自变量为x,c及ω均为常数。
微分方程的通解公式是什么
常微分方程通解公式是:y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式,定解条件,就是边界条件,或者初始条件 。 常微分方程,属数学概念。
学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程,,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
六种常见的常微分方程通解:
1、一阶微分方程的普遍形式。
一般形式:F(x,y,y’)=0。
标准形式:y’=f(x,y)。
主要的一阶微分方程的具体形式。
2、可分离变量的一阶微分方程。
3、齐次方程。
4、一阶线性微分方程。
5、伯努利微分方程。
6、全微分方程。
全微分的通解怎么求谢谢
求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向,但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解,仍然可以确认其解的部分性质。
在无法求得解析解时,可以利用数值分析的方式,利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析,而许多数值方法可以计算微分方程的数值解,且有一定的准确度。
微分方程的通解怎么求
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),(含一个或多个待定常数,由初始条件确定)。
例如:
其解为:
其中C是待定常数;
如果知道
则可推出C=1,而可知 y=-\cos x+1。
一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数变易法:
对于方程:y’+p(x)y+q(x)=0,可知其通解:
然后将这个通解代回到原式中,即可求出C(x)的值。
二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程,常用方法是求出其特征方程的解
对于方程:
可知其通解:
其特征方程:
根据其特征方程,判断根的分布情况,然后得到方程的通解
一般的通解形式为:
若
则有
若
则有
在共轭复数根的情况下:
r=α±βi
扩展资料
一阶微分方程的普遍形式
一般形式:F(x,y,y’)=0
标准形式:y’=f(x,y)
主要的一阶微分方程的具体形式
约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
唯一性
存在性是指给定一微分方程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。
针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理 则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
参考资料来源:百度百科-常微分方程
参考资料来源:百度百科-微分方程
解全微分方程的方法
这类微分方程都具有dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的形式,且满足P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数的特点。解答过程如下:
先由P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数,得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分方程的结论。接着得出通解是z=从(0,0)到(x,y)第二型曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
接下来,根据该积分与积分路径无关(因为P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数),可以选择从点(0,0)到点(x,y)的特殊路径积分,而最常选取的是沿折线路径积分,即先从(0,0)到(0,y)、再从(0,y)到(x,y)的折线或者是先从(0,0)到(x,0)、再从(x,0)到(x,y)的折线。最后z=积分结果 就是通解。
例如:阁下这个题,假如选择(0,0)到(x,0)、再从(x,0)到(x,y)的折线积分,则通解是z=(0,0)到(x,0)积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy + (x,0)到(x,y)积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
在第一个积分里,y(=0)是常数,所以dy=0,结果成为定积分(从0到x)(x^2 +2x*0-0^2)dx=1/3 * x^3 +C1.
在第二个积分里,x一直没变是常数,所以dx=0,结果成为定积分(从0到y)(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.
于是,通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.
微分方程的通解公式
常微分方程通解公式是:y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式,定解条件,就是边界条件,或者初始条件 。 常微分方程,属数学概念。
学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程,,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
六种常见的常微分方程通解:
1、一阶微分方程的普遍形式。
一般形式:F(x,y,y’)=0。
标准形式:y’=f(x,y)。
主要的一阶微分方程的具体形式。
2、可分离变量的一阶微分方程。
3、齐次方程。
4、一阶线性微分方程。
5、伯努利微分方程。
6、全微分方程。
求全微分方程的通解
求微分方程y²dx+(3xy-4y³)dy=0的通解
解:y=0;消去y得 ydx+(3x-4y²)dy=0..............①;
【由此可知:y=0是方程的一个特解】
P=y;Q=3x-4y²;∂P/∂y=1;∂Q/∂x=3;由于(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/y)(1-3)=-2/y=H(y);
因此方程①有积分因子μ:
用y²乘方程①的两边得:y³dx+(3xy²-4y^5)dy=0...........②
此时P=y³;Q=3xy²-4y^5;满足 ∂P/∂y=3y²=∂Q/∂x;故②是全微分方程。∴其通解u(x,y):
这也是原方程的通解【取微分后消去y²即得原方程】
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